로또 당첨 확률 계산

로또에서 1등에 당첨될 확률이 얼마나 될까요? 많은 분들이 “매우 낮다”는 건 알고 있지만, 도대체 어떻게 계산해서 그 확률이 나오느냐고 궁금해하실 텐데요. 이번 글에서는 수학에 익숙하지 않은 분들도 알 수 있도록, 최대한 단순한 예시와 비유로 “복권 당첨 확률”을 쉽고 간단하게 설명해드리겠습니다.

결과만 알고 싶은 분들은 아래의 이미지를 참고 해주세요.

당첨금 당첨 확률(출처: 동행복권)

1. 로또 번호는 ‘45개 중 6개를 고르는 것’

먼저 로또 6/45의 기본 구조부터 살펴보겠습니다.

숫자 45개(1부터 45까지)가 있다고 생각해보세요.
이 중에서 6개를 순서 없이 뽑습니다.
내가 뽑은 번호와 실제 추첨에서 뽑힌 번호가 얼마나 일치하느냐에 따라 당첨 여부와 등수가 결정됩니다.

예를 들어, "사과 45개 중 6개를 꺼낸다”고 생각해도 좋습니다. 어떤 순서로 뽑았건 최종적으로 뽑힌 6개”만 중요한 것이죠.

2. 전체 가능한 경우의 수는 얼마나 될까?

로또를 뽑는 ‘모든 가능한 조합(결과)’이 몇 가지인지 알아야, 그중 내가 원하는 조합(당첨 번호)을 맞힐 확률도 구할 수 있습니다.

45개 중 6개를 고르는 모든 경우의 수는, 수학에서 “조합(Combination)”이라는 공식을 사용합니다.
간단히 말하면 “갯수가 많은 상자에서 6개를 꺼내는 모든 방법”을 전부 세어본다고 생각하세요.
실제 계산 결과, 그 총 개수는 8,145,060가지 정도가 됩니다.

즉, 추첨에서 나오는 ‘당첨 번호 6개’는 이 8,145,060가지 경우 중 딱 하나에 해당합니다.

왜 8,145,060이 나오나요?

수학적으로는 $\binom{45}{6}$ = $\frac{45 \times 44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}$ 을 계산한 값이지만,

어렵게 느껴지면 “수학적으로 이렇게 구하면 된다” 정도만 기억해두셔도 좋습니다.

3. 1등 당첨 확률: 8,145,060분의 1

(1) 내가 뽑은 6개 = 추첨된 6개

1등을 하려면 내 번호 6개가 추첨 번호 6개와 정확히 일치해야 합니다.
위에서 말한 8,145,060가지 경우 중, 추첨 번호와 완벽히 같은 조합은 오직 1가지뿐이겠죠?

따라서 1등 당첨 확률은

$\frac{1}{8,145,060}$

즉, 약 814만 분의 1이라는 얘기입니다.

예를 들어 814만 개의 컵 중 딱 1개를 골라야 하는 수준이니, 굉장히 희박한 확률임을 알 수 있습니다.

4. 2등, 3등… 어떻게 확률을 구할까?

로또는 1등뿐 아니라 2등, 3등, 4등, 5등 등 다양한 등수로 당첨될 수 있습니다. 대표적으로 2등과 3등은 보너스 번호가 관여하는데, 여기서는 개념만 간단히 짚어볼게요.

2등: “추첨된 메인 번호 6개 중 5개를 맞히고, + 보너스 번호 1개를 맞히면” 됩니다.
3등: “추첨된 메인 번호 6개 중 5개를 맞히고, + 보너스 번호는 틀리는” 경우가 3등이 됩니다.

각각의 상황별로, “5개 맞히는 방법은 몇 가지?”, “나머지 1개가 보너스여야 하는 경우는 몇 가지?” 등등 조합을 조금씩 응용해서 계산할 수 있답니다.

예) 2등 확률은 대략 1/1,357,510 정도로, 그래도 1등보다는 높지만 여전히 엄청 낮죠!

이처럼 각각의 등수별로 당첨 확률이 달라지지만, 1등만큼은 단 하나의 조합과 일치해야 하므로 가장 어려운 확률(가장 희박)입니다.

5. 5등 당첨 확률-정확히 3개 맞히는 조합 수(분자)

당첨 번호 6개 중에서 3개를 맞히고(고른 번호 6개 중 3개가 당첨 번호와 일치), 나머지 3개는 당첨 번호가 아닌 39개(45-6=39) 중에서 골라야 합니다.
따라서 정확히 3개 맞히는 경우의 수는
$\binom{6}{3} \times \binom{39}{3}$
로 계산됩니다.
실제 값을 살펴보면
$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!\,3!} = 20$ $\binom{39}{3} = \frac{39!}{3!\,(39-3)!} = 9{,}139$
따라서
$\binom{6}{3} \times \binom{39}{3} = 20 \times 9{,}139 = 182{,}780$

전체 조합 중 정확히 3개가 맞을 확률은 $\frac{\binom{6}{3} \times \binom{39}{3}}{\binom{45}{6}} \;=\; \frac{182{,}780}{8{,}145{,}060} \;\approx\; 0.02245 \;(\text{약 }2.245\%)$

즉, 약 2.245% 정도의 확률로 3개를 맞혀 5등에 당첨될 수 있습니다.
(대략 1/44.5, 즉 44~45명 중 1명 꼴로 5등에 해당한다고 볼 수 있습니다.)

로또 당첨 확률이 궁금하신 분들에게 도움이 되셨으면 좋겠습니다!

로또과학